一、为理解而教——积累数学活动经验，激活学生思维的生长点
英国数学家、教育家怀特海说：“就教育而言，填鸭式灌输的知识、呆滞的思想不仅没有什么意义，往往极其有害。”并强调指出，“不能让知识僵化，而要让它生动活泼起来——这是所有教育的核心问题”。儿童的运算能力不仅表现为在理解算理的基础上能够正确地进行运算，还表现为能根据具体情境主动寻求合理简洁的运算途径和方法来解决问题，不断地积累数学计算的经验。赵老师和卢老师在设计《两位数减一位数(退位)》一课的教学时，非常重视“让计算生动活泼起来”，即让学生感受到思维生长的力量，设计中始终关注：问题由学生发现，算法由学生尝试，算理由学生探究。学生在观察、操作中思考，在比较、优化中选择，在应用、拓展中感悟。
(一)引发自主发现问题的意识
问题意识是指成为学生感知和思维的对象，从而在学生心里造成一种悬而未决但又必须解决的求知状态。两位教师呈现了课本主题情境图后，都通过“从图上你能知道哪些数学信息”和“你能提出用减法计算的数学问题吗”的引导，鼓励学生提出了用减法计算的三个问题，并列出三道算式，即34―30、30―8、34―8，激发了探索退位减法的主动性。
(二)参与主动建构算法的过程
学生数学学习的过程是在教师引导下主动发现、自主探究的建构过程。例如，在探究30―8和34―8的算法过程中，两位教师都让每一个学生尝试参与，充分调用原有的计算基础和思维经验，想到可以有摆小棒、拨计数器和直接口算等方法来计算。尤其是34―8的算法探究，学生结合直观操作演示，想到了三种不同的计算方法：一是“先算10-8=2，再算24+2=26”;二是“先算14―8=6，再算20+6=26”;三是“先算34―4=30，再算30―4=26”。学生在动手操作中理解了算理，在经历探究中明晰了算法，原本枯燥乏味的计算过程因有了学生的主动建构而变得“生动活泼起来”。
(三)关注数学活动经验的积累
数学活动经验的积累是提高学生数学素养的重要标志。数学活动经验要在“做”的过程和“思考”的过程中积淀，是在数学学习活动中逐步积累的。我们知道，数学活动经验具有很强的迁移性和认同性、主体性和实践性的特征，让学生亲历数学活动，就是帮助学生存储和激活、扩展和完善认知结构，从而不断丰富数学活动经验。例如，在30―8和34―8的教学中，两位教师通过学生主动建构的过程，即在“摆一摆、算一算”“比一比、说一说”“问一问、想一想”中，学生主动地从事观察、操作、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动，运算的经验不断应用，比较的方法不断丰富，探究的能力不断培育，思考的品质不断提升。这样的数学活动经验的积累是一个动态的过程，是在体验中内化，在感悟中提升的过程。
二、为思维而教——渗透基本数学思想，催生学生思维的深刻性
数学思想蕴含在数学知识形成、发展和应用的过程中。计算课，学生的数学思维不能缺席。在探究算理、明晰算法的过程中要逐步渗透基本的数学思想方法，让学生触摸数学思想方法的精神内核，完善认知结构，培养思维品质，形成数学观念。
(一)充分思考，触摸思想
“有益的思考方式和应有的思维习惯应放在数学教育的首位。”(波利亚语)数学教学中要赋予学生思考的空间，在思考中生长数学思想的力量，感受思维脉搏的跳动。两位教师的教学设计中很好地渗透了抽象的思想，引导学生探究退位减法时，经历“直观操作—图式表象—形成算法”的过程，将怎样想的过程用小棒摆出来，将怎样算的在计数器上拨出来，将动手操作的过程说出来。摆小棒、拨算珠和图式、算式融为一个整体，在直观的操作中学生逐渐明晰算理、有序思维，智慧之花在手指尖上自然绽放。
(二)优化整合，催生思维
算法的选择与优化是实际教学中比较难把握的策略。算法优化是指小学数学教学中根据学生的认知特点、积累的运算经验、以及学生擅长的思维方式，引导学生强化某种思维方式，从而使学生获得一种基于自身个性的优化算法，它是一种重要的数学思想。赵老师呈现了34―8的三种算法以后，通过“同学们想出了几种不同的思考方法”和“这些方法，你喜欢用哪一种”的启发提问，让学生的思维在背景中丰富起来。而卢老师则通过“刚才所有摆小棒的计算过程中都有哪一步?为什么要拆开一捆”“比较30―8和34―8计算过程有什么相同处” 等问题，让学生的思维镶嵌在比较的数学活动中，从而获得更生动而鲜明的理解。
(三)倾听交流，提升品质
学会数学交流，可以启迪数学思考的深刻性。两位教师在引导学生探究34―8多样化的算法时都为学生的交流提供了丰富的学习素材，学生可以展示自己的不同观点，倾听他人的想法，理解别人的算法，形成初步的计算策略。不同的算法在师生的追问和倾听中互动交流，学生在交流中慢慢学会合作，学会分享，学会互相欣赏，个性在交流中得到发展。在这个过程中教师与学生也一起分享彼此的思考、经验和知识，交流彼此的情感、体验与观念，从而达到共识、共享、共进。这样的平等对话，不仅是一种认识活动过程，更是一种人与人之间平等的精神交流。意味着主体的凸显、个性的表现、创造性的解放、生命成长的过程。
三、为自由而教——分享个性化地表达，发展学生思维的多样化
德国数学家康托尔说：“数学的本质在于思考的充分自由。” 而“积极、富有创新精神的思维习惯，只有在充分自由的环境下才能产生”。(怀特海语)在数学教学，尤其是计算教学中，这种“充分自由的环境”需要教师首先要为儿童应在营造一种安全、惬意、享受的学习场所，还需要教师能准确把握学生的学习起点、理解学生的学习需要、尊重学生的思维状态，让学生充分敞开心灵、放飞思维，富有个性地参与操作与创造、体验与感悟。
(一)尊重选择，倡导自我建构
提倡算法多样化，其实质是尊重学生的自我构建和自我理解，倡导学生富有个性地学习与思考。两位教师在教学中都能尊重每一个学生的个性特征，允许不同的学生从不同的角度认识问题，采用不同的方式表达自己的想法，用不同的知识与方法解决问题。每个学生都可以发表自己的观点，倾听同伴的想法，感受算法的多样化与灵活性，并比较不同方法的特点。
(二)关注差异，拓宽思维空间
由于学生所处的文化环境、家庭背景和自身思维方式的不同，学生的数学学习活动应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。研究表明，由于学生的兴趣、需要、先前经验的不同，学生在课堂上的参与度是存在个体差异的，这种差异既有对同一问题在观点上的激烈争论，也有在解决问题方式方法上的不同选择;既有不同学习风格的体现，也有独特优势潜能的挖掘;既有个体认知思维能力的高低不同，也有个体兴趣、情感、态度等体验上的独特性……所有这些差异都构成了课堂教学资源的丰富性，教师和学生利用这种差异资源不断生发新的观点，不断生长新的思维，不断迸发新的问题。两位教师的教学设计充分关注学生在学习过程中的差异，有效整合多元化的思维方式，让学生凭借已有的知识经验进行充分的探索。尤其是赵老师的设计，在巩固应用部分，通过题组对比练习、变式拓展练习、游戏激趣练习、实际应用练习等，培养学生思维的变通性、灵敏性和批判性，学生的思维在多元的学习过程中不断生长，多样化思维的策略在比较选择中逐步延展。
在实际的教学中，有些老师简单地将“算法的多样化”与“算法的优化”相对立，认为强调多样化就排斥了优化，认同优化就摒弃了多样化。其实，算法的多样化本身包含着优化的过程，优化的过程也是算法多样化的一个持续生成，两者互补共生，是一个动态平衡的过程。笔者在此有一个建议：我们在设计本节课的教学时，还可以进一步让学生自由敞开心灵，丰富学生多样化的思维：如关于34-8的计算探索，可以提供更开放自由的学习环境，充分鼓励学生多样化地探求解决的方法，有学生会用倒着数数的方法，即33，32，31，30，29，28，27，26，算出34-8=26。事实上，学生在解决生活中的数学问题时，会根据实际需要选择适合的方法来计算。例如，计算40-1时，倒着数数的方法也是很便捷的计算，而学生能合理选择适当的方法来解决实际问题是数学教学应该培养的一种素养。
